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TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）機器人是由多個(gè)四面體組成的變幾何桁架機器人,圖1所示為由N個(gè)四面體單元組成的冗余度TT-VGT機器人操作手,平面ABC為機器人的基礎平臺,基本單元中各桿之間由較鉸連接,通過(guò)可伸縮構件li(i=1,2,…,n)的長(cháng)度變化改變機構的構形。圖2所示為其中的兩個(gè)單元的TT-VGT機構,設平面ABC和平面BCD的夾角用中間變量qi(i=1,2,…,n)表示,qi與li(I=1,2,…,n)的關(guān)系如下： 式中,d表示TT-VGT中不可伸縮構件的長(cháng)度, li表示機器人可伸縮構件的長(cháng)度。 TT-VGT機器人關(guān)節驅動(dòng)力F與力矩τ的關(guān)系為： F=Bττ (2) 式中,Bτ為對角矩陣,對角元素Bτi為： 1 狀態(tài)模型 機器人的自適應控制是與機器人的動(dòng)力學(xué)密切相關(guān)的。機器人的動(dòng)力學(xué)方程的一般形式可如下表示（不考慮外力的作用）： τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q (4) 式中,D（q）∈R n×n為廣義質(zhì)量矩陣（慣性矩陣）, C（q,q）∈Rn×(n×n)為向心力及哥氏力作用的矩陣, G（q）∈R n為重力矩陣, τ∈R n表示機器人的驅動(dòng)力矩。 對于TT-VGT機器人,用桿件變量li,ii,Li（i=1,2…,n）代替中間變量qi,qi,qi（i=1,2…,n）（見(jiàn)式（1））,則試（4）可表示為： F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l (5) 式中,F∈Rn表示機器人的驅動(dòng)力。 可把式（5）表示為下列狀態(tài)方程： x=A(x,t)x+B(x,t)F （7） 式中, 上述機器人動(dòng)力學(xué)模型就是機器人自適應控制器的調節對象。 考慮到傳動(dòng)裝置的動(dòng)力學(xué)控制系統模型如下式所示： 式中,u、l——傳動(dòng)裝置的輸入電壓和位移矢量, Ma、Ja、Ba——傳動(dòng)裝置的驅動(dòng)力矩比例系數、轉動(dòng)慣量和阻尼系數（對角矩陣）。 聯(lián)立求解式（5）和式（9）,并定義： 可求得機器人傳動(dòng)系統的時(shí)變非線(xiàn)性狀態(tài)模型如下： 2 Lyapunov模式參考自適應控制器設計 定理 設系統的運動(dòng)方程為： e=Ae+Bφr （13） φ=-RB T Per (14) 式中,e為n維向量,r為l維向量,A、B、φ分別為（n×n）、（n×m）、（m×l）維滿(mǎn)秩矩陣,R與P分別為（m×m）、（n×n）維正定對稱(chēng)矩陣。 假若矩陣P滿(mǎn)足Lyapunov方程： PA+A TP=-Q （15） 式中,Q為（n×n）維正定對稱(chēng)矩陣。 同該系統的平衡點(diǎn)e,φ是穩定的。 如果向量r又是由l個(gè)或更多不同頻率的分量所組成,那么該平衡點(diǎn)還是漸近穩定的。其證明可參看文獻。選擇如下的穩定的線(xiàn)性定常系統為參考模型： y=Amx+Bmr （16） 式中,y——參考模型狀態(tài)矢量： 式中,∧1——含有ωi項的（n×n）對角矩陣, ∧2——含有2ξωi項的n×n對角矩陣。 式（18）表示n個(gè)含有指定參數ξ和ωi的去耦二除微分方程式： yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r （19） 令控制器輸入為：u=Kxx+Kur （20） 式中,Kx、Ku——可調反饋矩陣和前饋矩陣。 根據式（20）可得式（11）的閉環(huán)系統狀態(tài)模型為： x=As(x,t)x+Bs(x,t)u （21） 式中,As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx,Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22) 將式（12）代入式（22）,可得： 適當地設計Kxi、Ku,能夠使式（11）所示系統與式（16）所代表的參考模型完全匹配。 定義狀態(tài)誤差矢量為： e=y-x （24） 則e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r （25） 控制目標是為Kx和Ku找出一種調整算法,使得狀態(tài)誤差趨近于零,即： 對腳式（13）與式（14）,選取正定Lyapunov函數V為： 式中,P——正定矩陣, FA和FB——正定自適應增益矩陣。 對上式微分,得 根據Lyapunov穩定性理論,保證滿(mǎn)足式（24）為穩定的充要條件是V為負定,由此可求得： 將式（22）求導并與式（30）聯(lián)立求解,同時(shí)考慮到控制器穩定時(shí)式（11）所示系統與式（16）所代表的參考模型完全匹配,可得 由此已得到控制器的自適應控制律。 3 TT-VGT機器人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )自適應控制 本文采用直接MRAC（模型參考自適應控制）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )控制器對TT-VGT機器人進(jìn)行控制。在圖3中,NNC（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )控制器）力圖維持機器人輸出與參考模型輸出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通過(guò)誤差反傳,并采用上節的自適應算法,調節NNC,使得其輸出控制機器人運動(dòng)到誤差e(t)為0。 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )模型如圖4所示。 4 實(shí)例分析 以四得四面體為例,如圖5所示建立基礎坐標系,末端參考點(diǎn)H位于末端平臺EFG的中點(diǎn)。設參考點(diǎn)H在基礎坐標系中,從點(diǎn)（0.8640,-0.6265,0.5005）直線(xiàn)運動(dòng)到點(diǎn)（1.8725,0.5078,0.7981）,只實(shí)現空間的位置,不實(shí)現姿態(tài)。運動(dòng)的整個(gè)時(shí)間T設定5秒,運動(dòng)軌跡分為等時(shí)間間隔的100個(gè)區間。不失一般性要求,末端在軌跡的前40個(gè)區間勻加速度運動(dòng)（a=0.2578）,中間20個(gè)工間勻速度運動(dòng),最后40個(gè)區間勻減速度運動(dòng)（a=-0.2578）,開(kāi)始和結束時(shí)的末端速度為。設各定長(cháng)構件長(cháng)度為1m,機構中各桿質(zhì)量為1kg,并將質(zhì)量向四面體各頂點(diǎn)對稱(chēng)簡(jiǎn)化。 傳動(dòng)裝置的參數如下： Ma=4.0×10e -3kg·m/V;Ba=0.01N·m/(rad·s -1); 近似認為各關(guān)節電動(dòng)機軸上的總轉動(dòng)慣量在運動(dòng)過(guò)程中保持不變,其值分別為： J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2; J3=0.537kg·m2;J4=0.338kg·m2 末端位置誤差曲線(xiàn)如圖6所示。從誤差曲線(xiàn)可看出,用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )自適應控制的機器人位置控制精度較高,穩定性較好。 本文提出采用直接MRAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )自適應器對機器人進(jìn)行軌跡控制的方案;建立機器人狀態(tài)模型,推導出自適應控制算法,并對冗余度TT-VGT機器人軌跡控制進(jìn)行了仿真。結果表明,該方案控制誤差較小,穩定性較好。 |
