《智能駕駛之激光雷達算法詳解》空間變換數學(xué)基礎

jinchanchanwaji

下面介紹一些坐標系歐氏變換的基礎數學(xué)。

在進(jìn)行激光雷達的外參標定時(shí)，我們實(shí)際上是求解激光雷達坐標系相對車(chē)體坐標系的姿態(tài)和相對位置；在進(jìn)行車(chē)輛定位時(shí)，我們通常是在求解車(chē)體坐標系的相對變化量及其相對世界參考坐標系的變化量。這兩個(gè)坐標系之間的位置和姿態(tài)變化構成了歐氏變換。其中，姿態(tài)描述的是一個(gè)坐標系的軸系相對另一個(gè)坐標系軸系的旋轉或方向關(guān)系，相對位置描述的是一個(gè)坐標系的原點(diǎn)相對另一個(gè)坐標系原點(diǎn)的平移關(guān)系。

1.1、旋轉和平移變換

首先考慮兩坐標系間具有共同原點(diǎn)且僅有相對旋轉的情況。則點(diǎn)P的坐標系1和坐標系2下的三維向量可分別表示為

=

=

結合假設兩坐標系的單位正交基分別為；。以及坐標系2在坐標系1下單位正交基的投影關(guān)系最終可得

=

其中旋轉矩陣=

我們可以進(jìn)一步分析得到旋轉矩陣是行列式為1的正交陣，因此旋轉矩陣R與其轉置矩陣的相乘結果為單位陣E，所以,所以

再進(jìn)一步可以看出物體相對于坐標軸的旋轉和坐標軸相對于物體的等角度反向旋轉在描述上是等效的。

齊次矩陣則是考慮了兩坐標系間同時(shí)具有旋轉和平移的情況。最終可得。

1.2、旋轉的歐拉角表示

在使用旋轉矩陣R表示三維空間中的旋轉和姿態(tài)時(shí)，共需要9個(gè)變量來(lái)表示，而對應的旋轉本身則通常只有3個(gè)自由度。這種表達明顯帶來(lái)參數冗余，使得求解復雜。所以采用歐拉角姿態(tài)表示。

根據旋轉軸順序的不同，歐拉角有多種形式。以RPY為例，繞X軸旋轉角稱(chēng)為翻滾角R，繞Y軸旋轉角稱(chēng)為俯仰角P，繞Z軸旋轉角稱(chēng)為Y。歐拉角描述的空間旋轉與其轉動(dòng)順序強相關(guān)，且歐拉角的三個(gè)分量不具有互換性，在求解RPY的逆變換時(shí)，不能僅對角度取負實(shí)現，而應該按照相反的旋轉順序反轉相應的角度。當俯仰角pitch=時(shí)，歐拉角描述的旋轉存在奇異性，此時(shí)滾動(dòng)角和領(lǐng)航角無(wú)法區分，其描述的旋轉會(huì )出現退化現象，稱(chēng)為歐拉角的萬(wàn)向鎖現象。所以在優(yōu)化和濾波等迭代算法中通常不使用歐拉角表示較大的旋轉變換。

1.3、旋轉的軸角表示/旋轉向量表示

旋轉向量到旋轉矩陣的轉換關(guān)系如下：

1.4、旋轉的單位四元數表示

四元數是將二維空間中的復數擴展至三維空間中得到的超復數：

i,j,k為虛數單位，分別對應坐標系的三個(gè)軸，并滿(mǎn)足

采用矢量形式表示為

2.1 李群、李代數

為簡(jiǎn)化位姿估計相關(guān)的求解過(guò)程，引入李群和李代數。

群通常表示為由有限或無(wú)限個(gè)元素構成的集合加上一種運算的代數結構。具有群結構的光滑微分流形為李群，即若G為一個(gè)群，同時(shí)它又是D維空間的一個(gè)流形，并且其群乘積和取逆操作都是平滑函數，則G為一個(gè)李群。李代數是一個(gè)由集合V，數域F和一個(gè)李括號運算組成的代數結構，用于表示被賦予李括號運算的線(xiàn)性空間。在三維空間中，向量的叉乘運算即為該空間的李括號運算，所以李代數實(shí)際上是李群在其幺元處的切空間，它能夠完全捕獲李群的局部結構，并且李群M，李代數m可表示為。之后可通過(guò)李群和李代數的映射關(guān)系將流形空間中待求解的問(wèn)題表示成對應的線(xiàn)性空間的李代數結構，從而使得利用線(xiàn)性空間中的模型和算法成為可能。

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