|
有限長(cháng)脈沖響應(FIR)數字濾波器由于設計靈活，濾波效果好以及過(guò)渡帶寬易控制，因此在數字信號處理領(lǐng)域得到了廣泛的應用。FIR數字濾波器的典型設計方法主要有窗函數法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學(xué)習FIR數字濾波器的一個(gè)重要環(huán)節。用窗函數法進(jìn)行FIR濾波器設計的相關(guān)問(wèn)題，目前的教材講解較為細致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR數字濾波器的相關(guān)問(wèn)題，主要包括設計原理、性能分析、線(xiàn)性相位條件及設計中應注意的問(wèn)題等幾個(gè)方面。 1 設計原理及濾波器性能分析 頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對給定的理想濾波器的頻響 進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，即 ，然后以此Hd(k)作為實(shí)際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令： 由DFT定義，可以用這N個(gè)頻域的采樣值H(k)來(lái)惟一確定FIR的單位脈沖響應h(n)，即： 下面對設計出的濾波器頻率響應特性進(jìn)行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道，利用這N個(gè)頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應 ，這個(gè) 將逼近理想濾波器的頻響 。 的內插公式為： 從式(5)可以看到，在各頻率采樣點(diǎn)上，設計的濾波器，實(shí)際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數值相等，即 。但是在采樣點(diǎn)之間的頻率響應是由各采樣點(diǎn)的加權內插函數疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內插值越接近理想值，逼近誤差越小;反之，如果采樣點(diǎn)之間的理想頻響特性變化越陡，則內插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續點(diǎn)的兩邊，就會(huì )產(chǎn)生尖峰，而在通帶和阻帶就會(huì )產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設計的實(shí)際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知，實(shí)際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設計的濾波器的阻帶性能。 2 線(xiàn)性相位條件 FIR濾波器的最大優(yōu)點(diǎn)是嚴格的線(xiàn)性相位特性。下面討論為實(shí)現線(xiàn)性相位，在頻域內采樣得到的Hd(k)應滿(mǎn)足什么條件。FIR濾波器具有線(xiàn)性相位的條件是h(n) 是實(shí)序列，且滿(mǎn)足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關(guān)于對稱(chēng)，其中N為濾波器的長(cháng)度。以第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱(chēng))為基礎來(lái)推導頻域采樣Hd(k)滿(mǎn)足的條件。 理想濾波器的頻率響應可以表示為： 為實(shí)現第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件，相位函數θ(ω)和幅度函數Hg(ω)應分別滿(mǎn)足： 式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿(mǎn)足第一類(lèi)線(xiàn)性相位的條件。關(guān)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位的條件這里就不再推導，具體公式可參閱相關(guān)的教科書(shū)。 3 設計實(shí)例及性能分析 現以低通濾波器為例，說(shuō)明用頻率采樣法設計FIR線(xiàn)性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問(wèn)題。要求截止頻率ωc=0.2π rad/s，采樣點(diǎn)數為N=20。設計步驟如下： 第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應 第二步：在頻域內對 進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π/N=O.1 π，這樣在通帶內共有3個(gè)采樣點(diǎn)，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設計式(10)和式(11)，可以得到： 第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設計的實(shí)際濾波器的單位脈沖響應h(n)： 第四步：根據傅里葉變換的定義求得實(shí)際濾波器的頻率響應，驗證是否滿(mǎn)足濾波器技術(shù)指標的要求，主要驗證濾波器的阻帶衰減是否能夠滿(mǎn)足阻帶的要求。借助于Matlab軟件，按照以上4個(gè)步驟設計出低通濾波器的仿真結果如圖2所示。 由仿真結果圖2(d)可以看出其衰減比較小，約為-17 dB。在通常情況下，這個(gè)阻帶衰減不能滿(mǎn)足阻帶技術(shù)指標的要求，可以通過(guò)在通帶和阻帶之間的邊界頻率處增加過(guò)渡采樣點(diǎn)來(lái)增大阻帶衰減。 為改進(jìn)阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn);為保證過(guò)渡帶寬不變，將采樣點(diǎn)數增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過(guò)渡點(diǎn)的采樣值進(jìn)行優(yōu)化，取H1=O.390 4，其仿真結果如圖3所示。由圖3(d)可見(jiàn)，這時(shí)阻帶衰減達到了-43 dB。 為進(jìn)一步增加阻帶衰減，可再增加一個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)，并將采樣點(diǎn)數增加到60。兩個(gè)過(guò)渡樣點(diǎn)值經(jīng)優(yōu)化分別為H1=O.592 5和H2=O.1099，其仿真結果如圖4所示。由圖4(d)可見(jiàn)，這時(shí)阻帶衰減達到-73 dB。還可以通過(guò)進(jìn)一步增加過(guò)渡樣點(diǎn)來(lái)增加阻帶衰減，一般情況下，最多增加3個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)即能滿(mǎn)足阻帶衰減的要求。顯然，在保證過(guò)渡帶寬不變的情況下，相應的采樣點(diǎn)數也成倍增加，這樣將使濾波器的復雜度大大增加，在實(shí)現濾波時(shí)計算量也隨之增加。 4 結語(yǔ) Matlab仿真結果驗證了用頻率采樣法設計FIR線(xiàn)性相位數字濾波器這一數字信號處理中的基本理論，有助于學(xué)生深入理解并掌握這一重要的FIR濾波器設計方法。需要強調的是，頻率采樣法是從頻域出發(fā)直接設計濾波器的，而窗函數法是從時(shí)域出發(fā)設計濾波器的，兩種設計方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。窗函數法設計FIR數字濾波器是傅里葉變換的典型運用，而頻率采樣法設計的指導思想是頻域采樣定理及內插公式，其阻帶衰減的改善是通過(guò)增加過(guò)渡采樣點(diǎn)實(shí)現的，同時(shí)為保證過(guò)渡帶寬的不變，濾波器的采樣點(diǎn)數也要相應增加，計算復雜度也隨之成倍增加，這就要求在用頻率采樣法設計FIR濾波器時(shí)，要綜合考慮阻帶衰減和濾波器長(cháng)度的要求，從而達到設計的最優(yōu)化。 |
