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作者：賽普拉斯半導體 Kendall Castor-Perry 所有系統，包括濾波器，都是因果關(guān)系。這意味著(zhù)它們不能在激勵源激勵之前對激勵（不可預知）做出任何反應。那么，又該如何設計一款可“預測”的濾波器呢？好吧，這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預測的相關(guān)性。 那么，我們再次祭起曾非常流行的“五件你應該知道的事”這一招式之旗，我們提出五個(gè)核心問(wèn)題，其答案可以幫助我們繞過(guò)這個(gè)“濾波器”陷阱。 濾波器如何延緩信號？ 信息可以通過(guò)多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時(shí)間來(lái)通過(guò)處理系統。你可能很熟悉數字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應狀態(tài)變化這段時(shí)間差。有數字概念的讀者首先想到的可能是一個(gè)‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號，傳輸延遲沒(méi)有害處；但當我們考慮到模擬信號（實(shí)際上，沒(méi)有確定的特性對應特定的時(shí)間點(diǎn)）時(shí)，就不是那么簡(jiǎn)單了。 我們經(jīng)常對信號和數據序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒(méi)有任何意義，且它還是我們要觀(guān)察的更重要的基本頻點(diǎn)的障礙。雖然濾波過(guò)程對我們的觀(guān)察影響巨大，但它絕對是一個(gè)影響觀(guān)察的案例。當我們查看響應圖形時(shí)，傳統濾波方式最明顯的后果是，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應變化之間有明確的時(shí)間延遲。當我們看一些例子時(shí)，我們將在某一時(shí)刻借助測試信號清楚地看到這點(diǎn)。 我們如何量化這種形式的延遲？ 濾波器（或任何其它線(xiàn)性信號處理模塊）輸入信號和相應輸出之間的這種“滯后”， 與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當于（或略低于）相位響應與派生頻率。為此應選用明智的單位；如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達頻率，那么，（弧度）除以（弧度每秒），你就可得到以秒表示的答案�；蛘吣憧梢允褂谩爸芷凇薄� 一個(gè)周期，是一個(gè)完整旋環(huán)，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲（與每秒的周期數相同）表示的常規頻率差，也會(huì )給出以秒表述的答案。 我們可能忍不住要問(wèn)：如果要避免這種滯后，為什么不設計一款沒(méi)有任何組延遲的濾波器？如果你以前讀過(guò)我的專(zhuān)欄，你可能會(huì )認識到這句話(huà)中的“危險成分”。因為，你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標準”的低通濾波器響應，你會(huì )發(fā)現，他們的組延時(shí)是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來(lái)點(diǎn)別出心裁。 我們可以消除（或者不僅僅是消除）這種延遲嗎？ 如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴格的答案是‘不能'。但確實(shí)有種技術(shù)可用以開(kāi)發(fā)補償濾波器，當其與原來(lái)的濾波器級聯(lián)時(shí)，可以給你零延遲；當DC時(shí)，甚至是負的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯——現在，可將麻煩扼殺在未發(fā)。 比方說(shuō)，某種低通傳遞函數H，它們在DC時(shí)有整體增益�？梢匀菀椎卣撟C：新傳遞函數H' = 2-H，在DC時(shí)也是整體增益，且在DC時(shí)的組延遲具有與H相同的 幅值，但卻是負值。如果你級聯(lián)H和H'（即串聯(lián)它們），你會(huì )得到一個(gè)整體傳遞函數，我們稱(chēng)其為H1，它具有DC整體增益和DC零組延時(shí)。對于S或Z域的任何線(xiàn)性傳遞函數來(lái)說(shuō)，H1就等于HH'，即H1 = H(2-H)。無(wú)論哪類(lèi)濾波器，只要H是可實(shí)現的，這也就可以實(shí)現。 這看起來(lái)似乎很怪誕。因為函數H'與H的階相同（無(wú)論使用模擬或數字濾波器），你可以看到，將其組合起來(lái)會(huì )使濾波器的尺寸加倍，因此實(shí)現其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會(huì )大大降低濾波器的衰減性能。如果H是一個(gè)具有DC整體增益的低通函數，而在所有其它頻率也具有整體增益（或小于整體增益），那么函數2-H就有一個(gè)會(huì )在1和3之間振蕩的值，也就是說(shuō)，它可以在響應中引入一個(gè)高達9.5dB的“凸點(diǎn)”。如果該凸點(diǎn)落于整體濾波器的阻帶內，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點(diǎn)落在通帶內，那么該級聯(lián)的整個(gè)通帶內的響應會(huì )與單個(gè)H時(shí)的大相徑庭。 這里有個(gè)簡(jiǎn)單例子。對以100kps采樣率數字方式實(shí)現的H，在10kHz時(shí)，以n=2的巴特沃斯濾波器開(kāi)始。為了設計濾波器并獲得圖表，我使用了新版（2012年2月發(fā)布）的PSoC Creator濾波器工具，它為H給出了以下系數，幅度和組延時(shí)曲線(xiàn)在圖1表示。 雙二階濾波器的最終系數： 系數序列為A0，A1，A2，B1和B2 0.0674552917480469 0.134910583496094 0.0674552917480469 -1.14298057556152 0.412801742553711 
圖1：0.01 Fs時(shí)，N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時(shí)。 補償濾波器H'與H同分母，而分子等于兩個(gè)負數（H的分子）。我用快速電子表格進(jìn)行了計算，并將結果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個(gè)雙二階部分給出了最好的排序和增益；它獲得了4dB增益，以確保凸點(diǎn)響應不高于0dB，見(jiàn)圖2： 雙二階濾波器的最終系數： 系數序列為：A0，A1，A2，B1和B2 0.216065168380737 -0.2706618309021 0.0847635269165039 -1.14298057556152 0.412801742553711 0.372884273529053 0.745768547058105 0.372884273529053 -1.14298057556152 0.412801742553711
圖2：帶補償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián)；零DC組延遲 在通帶內，頻率響應明顯是非平坦（內有凹凸）的，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統理論，你馬上會(huì )看到，我們得到的是增加的傳遞函數零，其組延時(shí)的貢獻準確取消了原始的濾波器極點(diǎn)（以及新極點(diǎn)也會(huì )出現）。但它并非太過(guò)糟糕的一個(gè)響應——它仍能去掉數據序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘數據（哇!）：
圖3：某些數據（藍色），巴特沃斯響應（粉紅色）和補償（綠色） 我們不必使用相同的函數H來(lái)構造補償濾波器。如果兩個(gè)傳遞函數HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值，則H1 =HA（2-HB）也有整體DC增益和零DC組延遲。 特別是，如果HB是T值的純時(shí)間延遲（相等于HA的DC組延遲），我們可以得到FIR實(shí)現的漂亮簡(jiǎn)化。就T恰好等于N個(gè)采樣周期的傳遞函數來(lái)說(shuō)，我們得到H1 = HA（2-Z^- N），幾乎所有的數字濾波器結構都能很容易地實(shí)現它，因為Z圖的 這些負值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對稱(chēng)FIR濾波器總能滿(mǎn)足該條件；如果多做點(diǎn)工作，它就可以適應不對稱(chēng)的情況，其中N不是整數。 因此，無(wú)論我們選擇工作在S域或Z域，我們都可以構建零DC組延時(shí)的低通傳遞函數。但我們沒(méi)必要在零組延時(shí)停止；雖然我們可以很容易地使其為負，我們也在此進(jìn)入預測域。在采樣系統中，有一個(gè)其輸出是輸入信號在下一個(gè)采樣時(shí)刻可以預測的濾波器，會(huì )很方便。換句話(huà)說(shuō)，一個(gè)濾波器的DC組延遲是負一個(gè)采樣周期。在上面提到的FIR的情況，它簡(jiǎn)單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1)，而不是2-z^-N的補償函數。 現在，如果在有能量進(jìn)入濾波器之前，它就實(shí)際輸出了一些能量，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負延遲的形式出現在輸出。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀(guān)察家對其有心理上的期盼，則無(wú)論他們怎么想 ——所以當組延遲為負時(shí)，就沒(méi)有因果關(guān)系可去違反。 這種濾波器的表現如何？ 這些功能有個(gè)有用的屬性。顯然，對常數（即DC）輸入，輸出電壓等于輸入，與普通低通濾波器的一樣。但現在當輸入以恒定速率變化時(shí)，輸出也可以等于輸入。與“標準”低通傳輸函數不同，在階梯變化激勵下，濾波器的輸出和輸入信號間沒(méi)有“滯后”。我們設計另外一個(gè)例子，并更加仔細地檢驗其屬性。 這次，我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個(gè)對稱(chēng)的9階FIR濾波器，（因此有4個(gè)采樣周期的恒定組延遲）。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線(xiàn)頻而設計的。我會(huì )解釋理由，且在以后的Filter Wizard中，明確如何設計這樣一款“撥空號（dial-a-null）”濾波器，但眼下，我們只是看一看。對于我們的HB，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個(gè)采樣周期的簡(jiǎn)單延遲。這使2-HB看起來(lái)像一個(gè)系數為（2,0,0,0，-1）的5階FIR濾波器。級聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器，將兩個(gè)Z平面序列卷積在一起，獲得一個(gè)13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時(shí)如圖4所示，這次是用LTspice仿真的。圖中，有相當奇怪的頻率和時(shí)間，是因為這個(gè)濾波器是按工作在220個(gè)采樣/每秒設計的。再次，我們得到一個(gè)凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應。 現在，我們可以進(jìn)入預測領(lǐng)域。如果我們把HB'的延遲設為5個(gè)采樣周期而不是4個(gè)，然后重新計算該級聯(lián)（現在是14個(gè)階遞），我們得到的HAHB如圖4（綠色線(xiàn)段）所示。與期望的一樣，現在，你可以看到DC組延遲是負4.5ms左右。
圖4：FIR例子，正延遲和負一個(gè)采樣周期的情況 那么這里回報是什么？好，我們看看時(shí)間域的行為。三個(gè)濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應如圖5所示。
圖5：無(wú)補償和有補償FIR濾波器對三角波激勵的響應 由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見(jiàn)。如果你試圖檢測信號通過(guò)某些極限點(diǎn)的哪個(gè)點(diǎn)，你會(huì )清楚地體驗到在檢測響應時(shí)的延遲。HAHB線(xiàn)段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲！這突顯了對于一般低通濾波器來(lái)說(shuō)極為重要的一個(gè)事實(shí)：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數值上等于DC組延遲值。因此，如果我們補償濾波器的設計，使DC組延遲為零，我們就得以消除滯后。當然，代價(jià)總是有的，我們可以看到，在輸入波形斜坡發(fā)生突變后，這種濾波器有些疲于應付。 如果你放大HAHB曲線(xiàn)，你會(huì )看到，每個(gè)新采樣都正好在輸入斜坡曲線(xiàn)上。預測版本HAHB的輸出值移動(dòng)到斜坡將在下一個(gè)采樣周期開(kāi)始時(shí)該有的那個(gè)值，我猜，會(huì )與我們預測的一樣。 這種濾波器可在哪里派上用場(chǎng)？ 有許多工業(yè)監測應用，其“正�！毙袨橐馕吨�(zhù)信號穩定（但嘈雜，信號可以是溫度、壓力、物理結構內的應力等）。 所謂“異�！毙袨�，是指一些被測的系統參數變得不可控，并不按規矩“出牌”。 在反饋路徑需要濾波的控制系統，這種零延遲類(lèi)型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時(shí)，可以顯著(zhù)增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習慣于操控系統傳遞函數的零以強迫實(shí)施所需的回路行為，這正是我們在此以更具分析的意蘊所做的。我們的傳遞函數算法生成取消極點(diǎn)DC組延遲特性的零。我已經(jīng)說(shuō)過(guò)，不是嗎！ 這種零或負延遲濾波器通常還用來(lái)處理非電子信號。例如，如果一種金融工具（如股票）的價(jià)格被認為呈斜坡線(xiàn)性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然，如圖5所示，當三角形改變方向時(shí)，你可以從濾波器的行為進(jìn)行推斷，但一段時(shí)間內，這種濾波器會(huì )給出極不準確的結果，直到價(jià)格行為再次按平穩的斜坡變化。圖3的神秘數據，事實(shí)上是個(gè)股票價(jià)值序列。 這些金融工具的交易員實(shí)際上對其價(jià)格數據序列使用了一些相當復雜的濾波流程。我常常被告知，若電子市場(chǎng)股價(jià)暴跌，在金融部門(mén)，濾波器向導肯定會(huì )有份工作，用來(lái)從巨大的價(jià)格數據集中梳理出有趣信號。但讓我們繞過(guò)暗礁險灘，戴上安全的堅固工程的護身符，并重回正軌！ 諸如此類(lèi)的延遲操控可以大有作為的一個(gè)工程應用是補償數字D類(lèi)放大器的電源電壓變化。對于給定的分度：間隙因數由輸出開(kāi)關(guān)輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即，它沒(méi)有電源抑制。當人們似乎不想在消費類(lèi)音頻設備的電源上下大本錢(qián)的時(shí)候，這并非好事。 我們可以測量瞬時(shí)的電源電壓，并將其回饋到開(kāi)關(guān)控制算法中。但由于濾波器延遲與測量此類(lèi)放大器的電源電壓相關(guān)，并將數據回饋至控制系統，所以，你最終糾錯的并非此時(shí)此地的電源電壓，而是前一段時(shí)間的電源電壓。這種差異限制了我們可以用這種回路實(shí)現電源抑制。如果我們采用有適當的DC負組延時(shí)的低通濾波器濾除所測量的電源電壓（并不過(guò)分強調出現的高頻噪聲），我們就可以彌補這種效果（至少在相對的極低頻如此，如AC線(xiàn)頻的諧波頻率）。這種技術(shù)可以對數字功率放大器AC線(xiàn)的紋波抑制產(chǎn)生重大影響，在一些商業(yè)數字放大器設計中就采用了該方法。 |
