預測和負延遲濾波器:你應該知道的五件事

發(fā)布時(shí)間:2012-5-15 06:58    發(fā)布者:eechina
關(guān)鍵詞: 濾波 , 延遲
作者:賽普拉斯半導體 Kendall Castor-Perry

所有系統,包括濾波器,都是因果關(guān)系。這意味著(zhù)它們不能在激勵源激勵之前對激勵(不可預知)做出任何反應。那么,又該如何設計一款可“預測”的濾波器呢?好吧,這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預測的相關(guān)性。

那么,我們再次祭起曾非常流行的“五件你應該知道的事”這一招式之旗,我們提出五個(gè)核心問(wèn)題,其答案可以幫助我們繞過(guò)這個(gè)“濾波器”陷阱。

濾波器如何延緩信號?

信息可以通過(guò)多種方式加載于信號,它總是需要一段限定的時(shí)間來(lái)通過(guò)處理系統。你可能很熟悉數字模塊的傳輸延遲概念。延遲,就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應狀態(tài)變化這段時(shí)間差。有數字概念的讀者首先想到的可能是一個(gè)‘1’和‘0’的碼流,以作為不同電壓電流水平的物理表述。對于這樣的信號,傳輸延遲沒(méi)有害處;但當我們考慮到模擬信號(實(shí)際上,沒(méi)有確定的特性對應特定的時(shí)間點(diǎn))時(shí),就不是那么簡(jiǎn)單了。

我們經(jīng)常對信號和數據序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異,我們已確定其沒(méi)有任何意義,且它還是我們要觀(guān)察的更重要的基本頻點(diǎn)的障礙。雖然濾波過(guò)程對我們的觀(guān)察影響巨大,但它絕對是一個(gè)影響觀(guān)察的案例。當我們查看響應圖形時(shí),傳統濾波方式最明顯的后果是,在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應變化之間有明確的時(shí)間延遲。當我們看一些例子時(shí),我們將在某一時(shí)刻借助測試信號清楚地看到這點(diǎn)。

我們如何量化這種形式的延遲?

濾波器(或任何其它線(xiàn)性信號處理模塊)輸入信號和相應輸出之間的這種“滯后”,

與組延遲緊密相關(guān),組延遲相當于(或略低于)相位響應與派生頻率。為此應選用明智的單位;如果你用弧度測量相位,以其每秒弧度的角形式表達頻率,那么,(弧度)除以(弧度每秒),你就可得到以秒表示的答案;蛘吣憧梢允褂谩爸芷凇薄 一個(gè)周期,是一個(gè)完整旋環(huán),或360度。相位差以周期表示,除以赫茲(與每秒的周期數相同)表示的常規頻率差,也會(huì )給出以秒表述的答案。

我們可能忍不住要問(wèn):如果要避免這種滯后,為什么不設計一款沒(méi)有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過(guò)我的專(zhuān)欄,你可能會(huì )認識到這句話(huà)中的“危險成分”。因為,你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標準”的低通濾波器響應,你會(huì )發(fā)現,他們的組延時(shí)是總是正向的,一直降到零頻率。這里,我們需要來(lái)點(diǎn)別出心裁。

我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

如果你想讓延遲在任一頻率都為零,那嚴格的答案是‘不能'。但確實(shí)有種技術(shù)可用以開(kāi)發(fā)補償濾波器,當其與原來(lái)的濾波器級聯(lián)時(shí),可以給你零延遲;當DC時(shí),甚至是負的組延遲。正如我們將看到的,這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯——現在,可將麻煩扼殺在未發(fā)。

比方說(shuō),某種低通傳遞函數H,它們在DC時(shí)有整體增益?梢匀菀椎卣撟C:新傳遞函數H' = 2-H,在DC時(shí)也是整體增益,且在DC時(shí)的組延遲具有與H相同的

幅值,但卻是負值。如果你級聯(lián)H和H'(即串聯(lián)它們),你會(huì )得到一個(gè)整體傳遞函數,我們稱(chēng)其為H1,它具有DC整體增益和DC零組延時(shí)。對于S或Z域的任何線(xiàn)性傳遞函數來(lái)說(shuō),H1就等于HH',即H1 = H(2-H)。無(wú)論哪類(lèi)濾波器,只要H是可實(shí)現的,這也就可以實(shí)現。

這看起來(lái)似乎很怪誕。因為函數H'與H的階相同(無(wú)論使用模擬或數字濾波器),你可以看到,將其組合起來(lái)會(huì )使濾波器的尺寸加倍,因此實(shí)現其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是,它可能會(huì )大大降低濾波器的衰減性能。如果H是一個(gè)具有DC整體增益的低通函數,而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益),那么函數2-H就有一個(gè)會(huì )在1和3之間振蕩的值,也就是說(shuō),它可以在響應中引入一個(gè)高達9.5dB的“凸點(diǎn)”。如果該凸點(diǎn)落于整體濾波器的阻帶內,那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點(diǎn)落在通帶內,那么該級聯(lián)的整個(gè)通帶內的響應會(huì )與單個(gè)H時(shí)的大相徑庭。

這里有個(gè)簡(jiǎn)單例子。對以100kps采樣率數字方式實(shí)現的H,在10kHz時(shí),以n=2的巴特沃斯濾波器開(kāi)始。為了設計濾波器并獲得圖表,我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的PSoC Creator濾波器工具,它為H給出了以下系數,幅度和組延時(shí)曲線(xiàn)在圖1表示。

雙二階濾波器的最終系數:

系數序列為A0,A1,A2,B1和B2

0.0674552917480469

0.134910583496094

0.0674552917480469

-1.14298057556152

0.412801742553711


圖1:0.01 Fs時(shí),N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時(shí)。

補償濾波器H'與H同分母,而分子等于兩個(gè)負數(H的分子)。我用快速電子表格進(jìn)行了計算,并將結果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個(gè)雙二階部分給出了最好的排序和增益;它獲得了4dB增益,以確保凸點(diǎn)響應不高于0dB,見(jiàn)圖2:

雙二階濾波器的最終系數:

系數序列為:A0,A1,A2,B1和B2

0.216065168380737

-0.2706618309021

0.0847635269165039

-1.14298057556152

0.412801742553711

0.372884273529053

0.745768547058105

0.372884273529053

-1.14298057556152

0.412801742553711


圖2:帶補償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián);零DC組延遲

在通帶內,頻率響應明顯是非平坦(內有凹凸)的,而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統理論,你馬上會(huì )看到,我們得到的是增加的傳遞函數零,其組延時(shí)的貢獻準確取消了原始的濾波器極點(diǎn)(以及新極點(diǎn)也會(huì )出現)。但它并非太過(guò)糟糕的一個(gè)響應——它仍能去掉數據序列的高頻率噪聲——如圖3所示,某些神秘數據(哇!):


圖3:某些數據(藍色),巴特沃斯響應(粉紅色)和補償(綠色)

我們不必使用相同的函數H來(lái)構造補償濾波器。如果兩個(gè)傳遞函數HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值,則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲。

特別是,如果HB是T值的純時(shí)間延遲(相等于HA的DC組延遲),我們可以得到FIR實(shí)現的漂亮簡(jiǎn)化。就T恰好等于N個(gè)采樣周期的傳遞函數來(lái)說(shuō),我們得到H1 = HA(2-Z^- N),幾乎所有的數字濾波器結構都能很容易地實(shí)現它,因為Z圖的

這些負值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對稱(chēng)FIR濾波器總能滿(mǎn)足該條件;如果多做點(diǎn)工作,它就可以適應不對稱(chēng)的情況,其中N不是整數。

因此,無(wú)論我們選擇工作在S域或Z域,我們都可以構建零DC組延時(shí)的低通傳遞函數。但我們沒(méi)必要在零組延時(shí)停止;雖然我們可以很容易地使其為負,我們也在此進(jìn)入預測域。在采樣系統中,有一個(gè)其輸出是輸入信號在下一個(gè)采樣時(shí)刻可以預測的濾波器,會(huì )很方便。換句話(huà)說(shuō),一個(gè)濾波器的DC組延遲是負一個(gè)采樣周期。在上面提到的FIR的情況,它簡(jiǎn)單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1),而不是2-z^-N的補償函數。

現在,如果在有能量進(jìn)入濾波器之前,它就實(shí)際輸出了一些能量,那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負延遲的形式出現在輸出。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀(guān)察家對其有心理上的期盼,則無(wú)論他們怎么想

——所以當組延遲為負時(shí),就沒(méi)有因果關(guān)系可去違反。

這種濾波器的表現如何?

這些功能有個(gè)有用的屬性。顯然,對常數(即DC)輸入,輸出電壓等于輸入,與普通低通濾波器的一樣。但現在當輸入以恒定速率變化時(shí),輸出也可以等于輸入。與“標準”低通傳輸函數不同,在階梯變化激勵下,濾波器的輸出和輸入信號間沒(méi)有“滯后”。我們設計另外一個(gè)例子,并更加仔細地檢驗其屬性。

這次,我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個(gè)對稱(chēng)的9階FIR濾波器,(因此有4個(gè)采樣周期的恒定組延遲)。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線(xiàn)頻而設計的。我會(huì )解釋理由,且在以后的Filter Wizard中,明確如何設計這樣一款“撥空號(dial-a-null)”濾波器,但眼下,我們只是看一看。對于我們的HB,為得到零延遲濾波器,我們使用了4個(gè)采樣周期的簡(jiǎn)單延遲。這使2-HB看起來(lái)像一個(gè)系數為(2,0,0,0,-1)的5階FIR濾波器。級聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器,將兩個(gè)Z平面序列卷積在一起,獲得一個(gè)13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時(shí)如圖4所示,這次是用LTspice仿真的。圖中,有相當奇怪的頻率和時(shí)間,是因為這個(gè)濾波器是按工作在220個(gè)采樣/每秒設計的。再次,我們得到一個(gè)凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應。

現在,我們可以進(jìn)入預測領(lǐng)域。如果我們把HB'的延遲設為5個(gè)采樣周期而不是4個(gè),然后重新計算該級聯(lián)(現在是14個(gè)階遞),我們得到的HAHB如圖4(綠色線(xiàn)段)所示。與期望的一樣,現在,你可以看到DC組延遲是負4.5ms左右。


圖4:FIR例子,正延遲和負一個(gè)采樣周期的情況

那么這里回報是什么?好,我們看看時(shí)間域的行為。三個(gè)濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應如圖5所示。


圖5:無(wú)補償和有補償FIR濾波器對三角波激勵的響應

由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見(jiàn)。如果你試圖檢測信號通過(guò)某些極限點(diǎn)的哪個(gè)點(diǎn),你會(huì )清楚地體驗到在檢測響應時(shí)的延遲。HAHB線(xiàn)段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對于一般低通濾波器來(lái)說(shuō)極為重要的一個(gè)事實(shí):這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數值上等于DC組延遲值。因此,如果我們補償濾波器的設計,使DC組延遲為零,我們就得以消除滯后。當然,代價(jià)總是有的,我們可以看到,在輸入波形斜坡發(fā)生突變后,這種濾波器有些疲于應付。

如果你放大HAHB曲線(xiàn),你會(huì )看到,每個(gè)新采樣都正好在輸入斜坡曲線(xiàn)上。預測版本HAHB的輸出值移動(dòng)到斜坡將在下一個(gè)采樣周期開(kāi)始時(shí)該有的那個(gè)值,我猜,會(huì )與我們預測的一樣。

這種濾波器可在哪里派上用場(chǎng)?

有許多工業(yè)監測應用,其“正!毙袨橐馕吨(zhù)信號穩定(但嘈雜,信號可以是溫度、壓力、物理結構內的應力等)。 所謂“異!毙袨,是指一些被測的系統參數變得不可控,并不按規矩“出牌”。

在反饋路徑需要濾波的控制系統,這種零延遲類(lèi)型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時(shí),可以顯著(zhù)增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習慣于操控系統傳遞函數的零以強迫實(shí)施所需的回路行為,這正是我們在此以更具分析的意蘊所做的。我們的傳遞函數算法生成取消極點(diǎn)DC組延遲特性的零。我已經(jīng)說(shuō)過(guò),不是嗎!

這種零或負延遲濾波器通常還用來(lái)處理非電子信號。例如,如果一種金融工具(如股票)的價(jià)格被認為呈斜坡線(xiàn)性變化,但該斜坡被短期交易噪聲破壞,零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然,如圖5所示,當三角形改變方向時(shí),你可以從濾波器的行為進(jìn)行推斷,但一段時(shí)間內,這種濾波器會(huì )給出極不準確的結果,直到價(jià)格行為再次按平穩的斜坡變化。圖3的神秘數據,事實(shí)上是個(gè)股票價(jià)值序列。

這些金融工具的交易員實(shí)際上對其價(jià)格數據序列使用了一些相當復雜的濾波流程。我常常被告知,若電子市場(chǎng)股價(jià)暴跌,在金融部門(mén),濾波器向導肯定會(huì )有份工作,用來(lái)從巨大的價(jià)格數據集中梳理出有趣信號。但讓我們繞過(guò)暗礁險灘,戴上安全的堅固工程的護身符,并重回正軌!

諸如此類(lèi)的延遲操控可以大有作為的一個(gè)工程應用是補償數字D類(lèi)放大器的電源電壓變化。對于給定的分度:間隙因數由輸出開(kāi)關(guān)輸出,其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即,它沒(méi)有電源抑制。當人們似乎不想在消費類(lèi)音頻設備的電源上下大本錢(qián)的時(shí)候,這并非好事。

我們可以測量瞬時(shí)的電源電壓,并將其回饋到開(kāi)關(guān)控制算法中。但由于濾波器延遲與測量此類(lèi)放大器的電源電壓相關(guān),并將數據回饋至控制系統,所以,你最終糾錯的并非此時(shí)此地的電源電壓,而是前一段時(shí)間的電源電壓。這種差異限制了我們可以用這種回路實(shí)現電源抑制。如果我們采用有適當的DC負組延時(shí)的低通濾波器濾除所測量的電源電壓(并不過(guò)分強調出現的高頻噪聲),我們就可以彌補這種效果(至少在相對的極低頻如此,如AC線(xiàn)頻的諧波頻率)。這種技術(shù)可以對數字功率放大器AC線(xiàn)的紋波抑制產(chǎn)生重大影響,在一些商業(yè)數字放大器設計中就采用了該方法。
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