|
有限元法(FEM)作為一種分析和設計工具，已廣泛應用于天線(xiàn)、微波和信號完整性等眾多電子工程領(lǐng)域。FEM求解器與其它矩量法(MoM)和時(shí)域有限差分法(FDTD)等數值方法相比擁有多項顯著(zhù)的優(yōu)勢。這些優(yōu)勢包括：能夠處理復雜的非均勻和各向異性材料、能夠借助四面體單元準確地描繪復雜幾何形狀、能夠使用高階基函數實(shí)現準確性、具有多種端口和入射波等激勵方式。利用這些功能優(yōu)勢，FEM就能夠以極高的準確性對波導結構進(jìn)行建模。 但是，對于開(kāi)放空間問(wèn)題(例如天線(xiàn)向開(kāi)放空間輻射的時(shí)候)，FEM求解器需要通過(guò)在人工截斷的邊界表面上設定輻射邊界條件(RBC)，以便將無(wú)限域截斷為有限域。兩種廣泛使用的RBC包括一階吸收邊界條件(ABC)和理想匹配層(PML)，后者通常情況下都能夠提供最佳的準確性。兩種方法都保留了FEM系統矩陣的稀疏性，但僅適用于凸起的輻射表面。兩種都屬于近似方法，都存在準確性問(wèn)題，比如會(huì )產(chǎn)生來(lái)自輻射表面的非物理偽反射。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)增大RBC與輻射結構的間距，讓反射降至可忽視的水平，來(lái)予以解決。 另一方面，積分方程(IE)法，比如MoM，則非常適合對位于勻質(zhì)邊界或無(wú)限大介質(zhì)中的結構進(jìn)行建模。其分析內核采用格林函數，可以在無(wú)窮遠處采用Sommerfeld輻射條件。因此，不管是從內存占用，還是從CPU時(shí)間占用來(lái)說(shuō)，對多個(gè)在空間上分離，互不相連的同質(zhì)結構，IE求解器都毋庸置疑地成為更好的選擇，因為它不需要對目標之間的空間進(jìn)行詳細的建模。 早在1990年，Yuan就已經(jīng)成功實(shí)現了FEM求解器和IE求解器的混合算法，這個(gè)方法現普遍稱(chēng)為混合有限元邊界積分方法(FEBI)。這種方法把邊界積分：Sommerfeld輻射條件的MoM解，用作FEM解的截斷邊界，因此可以在理論上準確地處理遠場(chǎng)輻射條件。這樣就引出一系列有意思的特性，比如可用作任意形狀的距離輻射體很近的全共形的輻射表面。 本文將介紹ANSYS公司在HFSS中提供的一款全新的FEBI求解器。該求解器得力于近期區域分解方法的進(jìn)步。在現有的FEBI方法中，無(wú)限未知域被分割為兩個(gè)互不重疊的域：一個(gè)有界FEM域和一個(gè)無(wú)界同質(zhì)外部域。兩個(gè)域間的耦合通過(guò)其交界面上的合適的邊界條件加以考慮。 基于域分解的FEBI求解器 FEBI求解器首先將原始的目標域Ω分割為兩個(gè)互不重疊的子域Ω1和Ω2，如圖1所示。 
圖1：將目標域分解為FEM域和IE域。 Ω1和Ω2之間的公共界面在FEM域中表達為δΩ1，在IE域中表達為δΩ2。這種區分是必要的，因為現有的公式允許兩個(gè)域間的非共形耦合。也就是說(shuō)，可以分開(kāi)處理各個(gè)域的網(wǎng)格剖分、基函數和基函數階數、矩陣建立和求解過(guò)程。對于一個(gè)穩健的FEBI求解器來(lái)說(shuō)，能夠以模塊化的方式處理每個(gè)域的不同基函數階數是非常重要的，因為更高階的IE求解器還在開(kāi)發(fā)的過(guò)程中。 根據上述的域分解情況，可以寫(xiě)出如下最終的系統矩陣：
這里，AFE和ABI分別代表FEM域和BI域的系統矩陣。C是兩個(gè)域之間的耦合矩陣。由于是通過(guò)界面上的電流和磁流來(lái)實(shí)現耦合的，因此這種耦合非常稀疏。等式2的解可以通過(guò)把下式拆分后迭代求得
然后用迭代法求得：
域分解法的優(yōu)勢可以從4式中清楚地看出。FEM域和BI域被去耦合了，因此并行化就很容易了。上文已經(jīng)介紹過(guò)，BI可以在FEM中用作準確的截斷邊界。由于這種實(shí)現方式的模塊化特征，可以輕松地實(shí)現先進(jìn)的FEM求解器和IE求解器的混合求解。 應用 在本節中，將重點(diǎn)介紹使用這種混合方法的兩個(gè)例子來(lái)突顯FEBI的優(yōu)勢。如前文所述，一階ABC可以用于足夠大的有界共形空間，但這個(gè)空間不能有凹陷。另一方面，PML可以拉近與模型的間距，但最適合于長(cháng)方體有界區域。對混合FEBI技術(shù)來(lái)說(shuō)，由于可以精確計算邊界上電流和磁流的耦合，不用考慮這些外形和大小的約束問(wèn)題。從這種新邊界的測試顯示可以看出，當間距為λ0/10的時(shí)候，能夠實(shí)現速度和求解規模的最佳平衡5。這里λ0是開(kāi)放空間中的波長(cháng)。另外，FEBI邊界可以做到完全共形，包括凹區域。另外，還可以把模型的各個(gè)部分獨立閉合為單獨的域，每個(gè)域都有一個(gè)BI邊界。通過(guò)使用高度共形和分離空間的區域，可以大幅度縮小有限元求解域的范圍，從而實(shí)現高效率的仿真。為證明這一點(diǎn)，下面將介紹兩個(gè)例子，一個(gè)使用獨立空間，一個(gè)使用高度共形邊界表面。 第一個(gè)例子使用的是完全符合教科書(shū)的介質(zhì)透鏡6。透鏡及其饋源喇叭如圖2所示。透鏡將來(lái)自于源天線(xiàn)的電磁場(chǎng)聚焦于正前方。仿真的透鏡采用長(cháng)方體波導管作為饋源，其εr=2.56，正面直徑為4.4λ0。然后使用混合FEBI法對系統進(jìn)行分離域的建模，饋源喇叭及周?chē)拈L(cháng)方體空間作為一個(gè)域，透鏡周?chē)膱A錐形區域作為另一個(gè)域，每個(gè)分離空間的截斷面采用BI邊界。 為便于比較，同時(shí)采用了PML對該天線(xiàn)系統進(jìn)行建模，為求得準確的答案，使用了一個(gè)更大的長(cháng)方體空氣盒子將整個(gè)模型包在內，并距離輻射體足夠的距離以保證結果的準確。與采用PML仿真相比，FEBI模型使用的較小空間可以將內存的占用降低10倍。圖中同時(shí)顯示了兩種仿真計算得出的電場(chǎng)的陰影圖。如其顯示，雖然FEBI仿真使用的分離空間較小，透鏡和喇叭內外和周邊的電磁場(chǎng)都得到了準確的計算，并與PML計算的結果吻合。喇叭的反射系數(Г)隨與透鏡的距離縮小而增大。在比較加透鏡前后的喇叭端口反射時(shí)，兩種仿真都顯示Г有1.8dB的相同增長(cháng)。圖3是兩種方法計算得出的該天線(xiàn)系統的前向方向圖。再度體現出FEBI和PML之間的高度吻合。圖2和圖3說(shuō)明FEBI在使用分離空間來(lái)確定天線(xiàn)系統的特性時(shí)，具有相當的準確性。
圖2：采用矩形喇叭饋源的介質(zhì)透鏡。
圖3：透鏡的輻射特性。 第二個(gè)例子考查的是一組安裝在復雜平臺上的天線(xiàn)陣列(圖4)。它是一個(gè)由螺旋天線(xiàn)組成的7元陣列，安裝在衛星平臺上。衛星兩端之間的長(cháng)度為18英尺，天線(xiàn)工作頻率3.5GHz。由于這是一個(gè)大型模型，所以還是采用域分解法(DDM)來(lái)將FEM域分割為多個(gè)較小的域。7這種集成運載平臺的天線(xiàn)系統之前曾采用標準的ABC進(jìn)行仿真，使用大型閉合長(cháng)方體空間。該模型閉合的空間的體積大約為21000λ，DDM將求解范圍分解為34個(gè)域。仿真總共需要的存儲為210GB RAM。
圖4：安裝在衛星上的螺旋天線(xiàn)陣列。 FEBI仿真采用全共形的空間，該共形區域如圖所示。閉合的空間體積下降到1200λ3。由于目標空間縮小，只需要在12個(gè)域上應用DDM，仿真只要21GB的RAM就足夠了。相對于使用標準RBC求解，FEBI仿真所需的存儲大小會(huì )大幅度減少。圖5是兩種仿真在同等幅度和相位激勵下所有天線(xiàn)元的輻射特性，而兩種特性實(shí)現了完美的吻合。使用FEBI對位于衛星上的等激勵天線(xiàn)陣列仿真得出的三維極坐標方向圖如圖6所示。根據這個(gè)例子可以了解到，通過(guò)將FEBI與高度共形的有界域結合使用，可以在單個(gè)桌面計算機上能夠完成大型復雜天線(xiàn)系統的仿真工作。
圖5：安裝在衛星上的天線(xiàn)陣列的輻射特性。
圖6：7元陣列同等激勵下的輻射電磁場(chǎng)三維極化圖。 本文小結 混合FEBI是HFSS的FEM求解器中功能強大的新成員。設計工程師可以利用這種新技術(shù)將FEM仿真的優(yōu)勢與IE求解器在開(kāi)放邊界問(wèn)題上的效率和準確性結合在一起。這個(gè)方法對共形區域、凹空間和獨立空間都能取得相當的準確性，可以讓用戶(hù)縮小FEM求解域的范圍，從而大幅度縮短求解時(shí)間和減少求解所需占用的內存。 |
