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小宇宙 被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)的分形（Fractal）理論，是現代數學(xué)的一個(gè)新分支，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀(guān)和方法論。它與動(dòng)力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的局部可能在一定條件下，在某一方面（形態(tài)，結構，信息，功能，時(shí)間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。 分形幾何的概念是美籍法國數學(xué)家曼德布羅（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學(xué)家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函數，集合論創(chuàng )始人康托（G.Cantor，德國數學(xué)家）構造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年，意大利數學(xué)家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線(xiàn)。1904年，瑞典數學(xué)家科赫（H.von Koch）設計出類(lèi)似雪花和島嶼邊緣的一類(lèi)曲線(xiàn)。1915年，波蘭數學(xué)家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問(wèn)題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學(xué)家豪斯道夫（F.Hausdorff）開(kāi)始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分數維概念。1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用于非整數維，由此能將螺線(xiàn)作很好的分類(lèi)。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以后，這一領(lǐng)域的研究工作沒(méi)有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學(xué)教科書(shū)中的反例而流傳開(kāi)來(lái)。 真正令大眾了解分形是從計算機的普及肇始，而一開(kāi)始，分形圖的計算機繪制也只是停留在二維平面，但這也足以使人們心馳神往。近來(lái)，一個(gè)分形體愛(ài)好者丹尼爾•懷特（英國一鋼琴教師）提出一個(gè)大膽的方法，創(chuàng )造出令人稱(chēng)奇的3D分形影像，并將它們命名為芒德球（mandelbulb）。
在芒德球極其繁瑣的外表下，這個(gè)集合實(shí)際上是由一種非�；A的算法得出的。那是一種利用復數的算法。就曼德布羅集而言，它是直接由最簡(jiǎn)單的乘方運算得出的——對復數進(jìn)行乘方。但問(wèn)題在于無(wú)法在三維空間恰當地擴展數的概念。與復數和平面點(diǎn)之間的關(guān)系不同，19世紀的數學(xué)家們曾證明，立體空間中的點(diǎn)是無(wú)法用適宜傳統加法和乘法運算的代數工具來(lái)表示的。既然無(wú)法定義數字計算，自然也就無(wú)法勾畫(huà)曼德布羅集的三維形象。解決方案之一是在四維空間中進(jìn)行計算，然后將結果投射到三維空間中。四維空間中的每個(gè)點(diǎn)都可與 “四元數”（quaternion）匹配，對它們可以進(jìn)行傳統算術(shù)操作。盡管四維空間無(wú)法用肉眼看到，但利用四元數便能輕而易舉地列出與曼德布羅集相對應的算法，之后去掉一個(gè)分量，就能使結果顯示成三維效果。但這個(gè)方案也令人失望，得到的畫(huà)面比二維圖像好不了多少。 為了避開(kāi)這個(gè)難題，丹尼爾•懷特兩年前冒出一個(gè)古怪的想法。徹底擺脫數學(xué)的羈絆，他在三維空間的點(diǎn)與點(diǎn)之間憑空構建出一種“偽分形”。盡管其處理手段算不上中規中矩的乘法，但至少將與曼德布羅集相對應的算法擴展到了三維空間中所有的點(diǎn)。丹尼爾•懷特對幾百萬(wàn)個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了計算，之后又追加了光影和紋理以體現立體效果，終于，在他的屏幕上呈現出第一個(gè)芒德球，形狀與嚴格的曼德布羅集十分近似。遺憾的是，這一結果沒(méi)能滿(mǎn)足他的期望：“圖形令人驚嘆，但我期望的是更精致的細節�！� 嘗試并未就此止步。丹尼爾•懷特在互聯(lián)網(wǎng)上的一個(gè)分形體論壇上引起了美國一位年輕計算機專(zhuān)家保羅•尼蘭德的注意。他接手懷特的研究，對算法進(jìn)行稍事改動(dòng)，把反復的平方操作換成更高次方（八次方），從而得到了一系列新的芒德球，指數越高，細節就越豐富。 這個(gè)芒德球引起了我的極大興趣，下決心要學(xué)學(xué)分形體，于是乎決定從最簡(jiǎn)單的分形算法學(xué)起，希望與各位共勉。 以下開(kāi)始介紹幾例最簡(jiǎn)單的分形算法： 一、Cantor三分集的遞歸算法 選取一個(gè)歐氏長(cháng)度的直線(xiàn)段，將該線(xiàn)段三等分，去掉中間一段，剩下兩段。將剩下的兩段分別再三等分，各去掉中間一段，剩下四段。將這樣的操作繼續下去，直到無(wú)窮，則可得到一個(gè)離散的點(diǎn)集。點(diǎn)數趨于無(wú)窮多，而歐氏長(cháng)度趨于零。經(jīng)無(wú)限操作，達到極限時(shí)所得到的離散點(diǎn)集稱(chēng)之為Cantor集。 1.給定初始直線(xiàn)兩個(gè)端點(diǎn)的坐標（ax，ay）和（bx，by），按Cantor三分集的生成規則計算出個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標如下： cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay-d dx=bx-(bx-ax)/3 dy=by-d ay=ay-d by=by-d 2.利用遞歸算法，將計算出來(lái)的新點(diǎn)分別對應于（ax，ay）和（bx，by），然后利用步驟1的計算關(guān)系計算出下一級新點(diǎn)（cx，cy）和（dx，dy），并壓入堆棧。 3.給定一個(gè)小量c，當（bx，by） 下面給出matlab程序： function f=cantor(ax,ay,bx,by) c=0.005;d=0.005; if (bx-ax)>c x=[ax,bx];y=[ay,by];hold on; plot(x,y,'LineWidth',2);hold off; cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay-d; dx=bx-(bx-ax)/3; dy=by-d; ay=ay-d; by=by-d; cantor(ax,ay,cx,cy); cantor(dx,dy,bx,by); end 運行cantor（0,5,5,5），出現圖例如下：
二、Koch曲線(xiàn)的遞歸算法 在一單位長(cháng)度的線(xiàn)段上對其三等分，將中間段直線(xiàn)換成一個(gè)去掉底邊的等邊三角形，再在每條直線(xiàn)上重復以上操作，如此進(jìn)行下去直到無(wú)窮，就得到分形曲線(xiàn)Koch曲線(xiàn)。 1.給定初始直線(xiàn)（ax，ay）-（bx，by），按Koch曲線(xiàn)的構成原理計算出各關(guān)鍵點(diǎn)坐標如下： cx=ax+(bx-ax)/3 cy=ay+(by-ay)/3 ex=bx-(bx-ax)/3 ey=by-(by-ay)/3 l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2) alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)) dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l 2.利用遞歸算法，將計算出來(lái)的新點(diǎn)分別對應于（ax，ay）和（bx，by），然后利用步驟1中的計算公式計算出下一級新點(diǎn)（cx，cy），（dx，dy），（ex，ey），并壓入堆棧。 3.給定一個(gè)小量c，當l 下面給出matlab程序： function f=Koch(ax,ay,bx,by,c) if (bx-ax)^2+(by-ay)^2 x=[ax,bx];y=[ay,by]; plot(x,y);hold on; else cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; l=sqrt((ex-cx)^2+(ey-cy)^2); alpha=atan((ey-cy)/(ex-cx)); if (alpha>=0&(ex-cx)<0)|(alpha<=0&(ex-cx)<0) alpha=alpha+pi; end dy=cy+sin(alpha+pi/3)*l; dx=cx+cos(alpha+pi/3)*l; Koch(ax,ay,cx,cy,c); Koch(ex,ey,bx,by,c); Koch(cx,cy,dx,dy,c); Koch(dx,dy,ex,ey,c); end 運行Koch(0,0,100,0,10)，出現圖例如下：
三、生成填充Julia集 1.設定參數a，b以及一個(gè)最大的迭代步數N。 2.設定一個(gè)限界值R，即實(shí)數R≧max（2，sqrt（a^2+b^2）。 3.對于平面上以R為半徑的圓盤(pán)內的每一點(diǎn)進(jìn)行迭代，如果對于所有的n≦N，都有|x^2+y^2|≦R，那么，在屏幕上繪制出相應的起始點(diǎn)，否則不繪制。 下面給出matlab程序： a=-0.11;b=0.65;r=2; for x0=-1:0.01:1 for y0=-1:0.01:1 x=x0;y=y0; if x0^2+y0^2<1 for n=1:80 x1=x*x-y*y+a; y1=2*x*y+b; x=x1; y=y1; end if (x*x+y*y) plot(x0,y0); end hold on; end end end
四、牛頓迭代 牛頓迭代是在數值求解非線(xiàn)性方程（組）的時(shí)候經(jīng)常使用的方法。有些牛頓迭代能夠繪制出漂亮的圖形來(lái)，所以現在也常用于設計圖形。 Matlab程序如下： 首先編寫(xiě)newton函數： function y=newton(z) if (z==0) y=0; return; end for i=1:1:2000 y=z-(z^3-1)/(3*z^2); if (abs(y-z)<1.0e-7) break; end z=y; end 接著(zhù)進(jìn)入主程序： clear all;clc; A=1;B=0;C=1; for a=-1:0.005:1 for b=-1:0.005:1 x0=a+b*i; y=newton(x0); if abs(y-A)<1.0e-6 plot(a,b,'r');hold on; elseif abs(y-B)<1.0e-6 plot(a,b,'g');hold on; elseif abs(y-C)<1.0e-6 plot(a,b,'y');hold on; end end end
五、迭代函數系IFS IFS是分形的重要分支。它是分形圖像處理中最富生命力而且最具有廣闊應用前景的領(lǐng)域之一。這一工作最早可以追溯到Hutchinson于1981年對自相似集的研究。美國科學(xué)家M.F.Barnsley于1985年發(fā)展了這一分形構型系統，并命名為迭代函數系統（Iterated Function System，IFS），后來(lái)又由Stephen Demko等人將其公式化，并引入到圖像合成領(lǐng)域中。IFS將待生成的圖像看做是由許多與整體相似的（自相似）或經(jīng)過(guò)一定變換與整體相似的（自仿射）小塊拼貼而成。 算法： 1.設定一個(gè)起始點(diǎn)（x0，y0）及總的迭代步數。 2.以概率P選取仿射變換W，形式為 X1=a x0+b y0 +e Y1=c x0+d y0+f 3.以W作用點(diǎn)（x0，y0），得到新坐標（x1，y1）。 4.令x0=x1，y0=y1。 5.在屏幕上打出（x0，y0）。 6.重返第2步，進(jìn)行下一次迭代，直到迭代次數大于總步數為止。 下面給出一些IFS植物形態(tài)的matlab程序： a=[0.195 -0.488 0.344 0.433 0.4431 0.2452 0.25; 0.462 0.414 -0.252 0.361 0.2511 0.5692 0.25; -0.058 -0.07 0.453 -0.111 0.5976 0.0969 0.25; -0.035 0.07 -0.469 -0.022 0.4884 0.5069 0.2; -0.637 0 0 0.501 0.8562 0.2513 0.05]; x0=1;y0=1; for i=1:10000 r=rand; if r<=0.25 x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5); y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6); end if r>0.25 & r<=0.5 x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5); y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6); end if r>0.5 & r<=0.75 x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5); y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6); end if r>0.75 & r<=0.95 x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5); y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6); end if r>0.95 & r<=1 x1=a(5,1)*x0+a(5,2)*y0+a(5,5); y1=a(5,3)*x0+a(5,4)*y0+a(5,6); end x0=x1;y0=y1; plot(x1,y1);hold on; end 得到圖例如下：
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修改部分系數便可得到另一種形態(tài)： 六、三角形分形 function triangles(n); clc;close all; if nargin==0; n=4; end rand('state',2); C=rand(n+4,3); figure; axis square equal;hold on; a=-pi/6; p=0; r=1; [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C); function [p,r,n,a]=tritri(p,r,n,a,C); % 畫(huà)一個(gè)三角形 % p 是三角形中心 % r是三角形半徑 % n是遞歸次數 % a是三角形角度 % C是顏色矩陣 z=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a)); zr=p+r*exp(i*([0:3]*pi*2/3+a))/2; pf=fill(real(z),imag(z),C(n+2,  );set(pf,'EdgeColor',C(n+2, );if n>0; [p,r,n,a]=tritri(p,r/2,n-1,a+pi/3,C); n=n+1;r=r*2;a=a-pi/3; [zr(1),r,n,a]=tritri(zr(1),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; [zr(2),r,n,a]=tritri(zr(2),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; [zr(3),r,n,a]=tritri(zr(3),r/4,n-1,a,C); n=n+1;r=r*4; end 七、曼德布羅集合 Mandelbrot set是在復平面上組成分形的點(diǎn)的集合。Mandelbrot集合可以用復二次多項式f(z)=z^2+c來(lái)定義。其中c是一個(gè)復參數。對于每一個(gè)c，從z=0開(kāi)始對f(z)進(jìn)行迭代序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), .......)的值或者延伸到無(wú)限大，或者只停留在有限半徑的圓盤(pán)內。曼德布羅集合就是使以上序列不延伸至無(wú)限大的所有c點(diǎn)的集合。從數學(xué)上來(lái)講，曼德布羅集合是一個(gè)復數的集合。一個(gè)給定的復數c或者屬于曼德布羅集合M，或者不是。 1.設定參數a，b，以及一個(gè)最大的迭代步數N。 2.設定一個(gè)限界值R，不妨設實(shí)數R=2。 3.對于參數平面上的每一點(diǎn)c（a，b），使用以R為半徑的圓盤(pán)內的每一點(diǎn)進(jìn)行迭代，如果對于所有的n≤N，都有|x*x+y*y|≤R*R，那么，在屏幕上繪制出相應的起始點(diǎn)c（a，b），否則不繪制。 下面給出matlab程序： r=4;%限界值 for a=-2:0.002:1 for b=-2:0.002:1%參數a，b取到一個(gè)范圍 x=a;y=b;%初始的復數c for n=1:20 x1=x*x-y*y+a;%復數平方加一個(gè)c的運算 y1=2*x*y+b; x=x1;%迭代 y=y1; end if(x*x+y*y) end hold on; end end 八、腦分形 作為IFS的一種應用 a=[0.03 0 0 0.45 0 0 0.05; -0.03 0 0 -0.45 0 0.4 0.15; 0.56 -0.56 0.56 0.56 0 0.4 0.4; 0.56 0.56 -0.56 0.56 0 0.4 0.4]; x0=1;y0=1; for i=1:100000 r=rand; if r<=0.05 x1=a(1,1)*x0+a(1,2)*y0+a(1,5); y1=a(1,3)*x0+a(1,4)*y0+a(1,6); end if r>0.05 & r<=0.2 x1=a(2,1)*x0+a(2,2)*y0+a(2,5); y1=a(2,3)*x0+a(2,4)*y0+a(2,6); end if r>0.2 & r<=0.6 x1=a(3,1)*x0+a(3,2)*y0+a(3,5); y1=a(3,3)*x0+a(3,4)*y0+a(3,6); end if r>0.6 & r<=1 x1=a(4,1)*x0+a(4,2)*y0+a(4,5); y1=a(4,3)*x0+a(4,4)*y0+a(4,6); end x0=x1;y0=y1; plot(x1,y1); hold on; end 最簡(jiǎn)單的brain fractal 參考文獻 [1] 分形算法與程序設計—java實(shí)現 孫博文 著(zhù) 科學(xué)出版社，2004 [2] 混沌的計算實(shí)驗與分析 于萬(wàn)波 著(zhù) 科學(xué)出版社，2008 [3] 芒德球的分形之美 作者：Herv Poirier 譯者：郭鑫 《新發(fā)現》2010年第5期 |
| 總有一些你所不了解的事情出現，讓你感覺(jué)這個(gè)世界很奇妙！ |
| MARK 下，學(xué)習下。 |
