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作者：安森美半導體產(chǎn)品工程總監Christophe Basso 《線(xiàn)性及開(kāi)關(guān)電源的控制環(huán)路設計》是Power Electronics前專(zhuān)欄作者Christophe Basso的最新著(zhù)作。此著(zhù)作注重探討工程師真正需要了解的補償及穩定給定控制系統的知識。本文包含此書(shū)有關(guān)穩定性標準章節的摘錄內容。 在電子領(lǐng)域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過(guò)程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時(shí)噪聲等級上升，此時(shí)開(kāi)始振蕩及自激。此類(lèi)電路可采用圖1所示的構成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統的配置。 
圖1：振蕩器實(shí)質(zhì)上是一種誤差信號，不會(huì )妨礙輸出信號變化的控制系統。 在我們的示例中，勵磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動(dòng)振蕩器。直接通道由傳遞函數H(s)構成，而返回通道包含G(s)區塊。要分析此系統，我們首先通過(guò)輸出電壓與輸入變量的變化關(guān)系方程式來(lái)寫(xiě)出其傳遞函數：
如果我們擴充此公式及Vout(s)項，我們就得到
故此類(lèi)系統的傳遞函數就是：
在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱(chēng)作環(huán)路增益，其標記為T(mén)(s)。要將我們的系統轉換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號，即使輸入信號已消失。為了滿(mǎn)足這樣的目標，就必須符合下列條件：
要在Vin消失條件下驗證此方程式，商數(quotient)就必須無(wú)限大。商數無(wú)限大的條件就是特征方程式D(s)等于0：
要滿(mǎn)足此條件，G(s)H(s)必須等于-1。換句話(huà)說(shuō)，環(huán)路增益的大小就必須為1，其符號應當改為負號。正弦信號的符號改變只不過(guò)是相位翻轉180°。這兩個(gè)條件能以下面兩個(gè)方程式來(lái)進(jìn)行數學(xué)表述：
圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來(lái)表述。 在滿(mǎn)足這兩個(gè)方程式的條件下，我們就得到穩態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標準，由德國物理學(xué)家Barkhause在1921年提出。實(shí)際上講，在一個(gè)控制環(huán)路系統中，它表示修正信號不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵磁信號相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)穿過(guò)0 dB軸，且恰好在此點(diǎn)受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數及實(shí)數部份相對頻率的變化關(guān)系被繪制成圖，此點(diǎn)對應于-1, j0。圖2顯示了滿(mǎn)足振蕩條件的兩個(gè)曲線(xiàn)。如果系統略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會(huì )以指數形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設計人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿(mǎn)足。 穩定條件 如您所知，控制系統的目標不是構建振蕩器。我們希望控制系統提供高速、精確及無(wú)振蕩的響應。因此，我們必須避開(kāi)滿(mǎn)足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統會(huì )作出反應的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對應于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內系統被認為會(huì )極佳地響應其輸入(即遵循設定點(diǎn)或有效地抑制擾動(dòng))。我們在后文會(huì )看到，在設計階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會(huì )控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項跟開(kāi)環(huán)路分析有關(guān)的參數。這兩個(gè)變量通常被概略認為相等，但我們會(huì )看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠，在討論中這兩項能互換。 我們已經(jīng)看到，開(kāi)環(huán)路增益是我們系統中的一項重要參數。當增益存在時(shí)(即|T(s)|>1)，系統以動(dòng)態(tài)閉合環(huán)路工作，能補償輸入的擾動(dòng)或對設定點(diǎn)變化作出反應。然而，系統反應也存在限制：系統必須在擾動(dòng)信號所涉及的頻率提供增益。如果設定點(diǎn)變化的擾動(dòng)太快，勵磁信號的頻率成分就低于系統帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統變慢且不會(huì )作出反應，工作狀態(tài)就像環(huán)路對波形變化沒(méi)有響應。那么，是否就要求無(wú)限大的帶寬呢？不是的，因為增加帶寬就象是拓寬漏斗的直徑：您當然可以收集到更多信息，并對輸入振動(dòng)更快地作出反應，但系統也將接收到偽信號(spurious signal)，如轉換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(如開(kāi)關(guān)電源中的輸出漣波)。因此，強制要求將帶寬限制在您應用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號的強固性)。 限制帶寬 我們怎樣限制控制系統的帶寬？方法就是通過(guò)補償器區塊G改變環(huán)路增益曲線(xiàn)。此區塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統的帶寬。發(fā)生此現象時(shí)的頻率稱(chēng)作交越頻率，標作fc。這就是否足夠獲得強健的系統？不是的，我們需要確保另一個(gè)重要參數：幅值為1的點(diǎn)的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實(shí)驗來(lái)看，我們已經(jīng)看到當環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時(shí)，我們獲得了朝穩態(tài)收斂的響應。這很明顯是我們控制系統極想要的一種特征。為了確保我們在交越時(shí)避開(kāi)-180°，補償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項設計或安全限制，確保在即使存在外部擾動(dòng)或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會(huì )破壞穩定性。我們在后文會(huì )看到，相位余量還會(huì )影響系統的瞬時(shí)響應。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時(shí)響應類(lèi)型。相位余量的數學(xué)定義如下所示：
其中T代表開(kāi)環(huán)路增益，其中包括分級的控體H和補償器G增益。 圖3中顯示了經(jīng)典補償的典型環(huán)路增益曲線(xiàn)，其中顯示交越頻率為6.5 kHz。在此點(diǎn)，T(s)相位為-90°。如果您想在6.5 kHz時(shí)從-180°起步，并正向清點(diǎn)相位度數直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。這就是一個(gè)極為強健的系統，被認為在各種條件下都穩定：即使在交越點(diǎn)附近環(huán)路增益有一定程度的變化，也沒(méi)有可能在相位余量太小的頻率交越。所謂的“太小”，我們指的是相位余量接近30°極限，低于此值時(shí)系統就提供不可接受的振鈴(ringing)響應。這就是為什么您在上學(xué)時(shí)學(xué)習到45°是極限，此值相較于30°而言提供了額外的余量。我們稍后會(huì )看到這些數字的來(lái)源分析。
圖3. 在此示例中，0 dB交越點(diǎn)位于6.5 kHz，此頻率時(shí)總相位滯后提供了90°的相位余量 增益余量及穩定條件 圖4顯示了被補償轉換器的另一個(gè)典型頻率響應，重點(diǎn)顯示了0 dB交越點(diǎn)及相位余量。我們根據經(jīng)驗可知，構成轉換器的元件在產(chǎn)生生命周期內會(huì )再現性能變化。這些變化可能是因正常的生產(chǎn)差異范圍引起的(如電阻或電容遭受逐批次公差不同的影響)。轉換器的環(huán)境工作條件也對元件有影響。在這些變量中，溫度充當關(guān)鍵角色，影響被動(dòng)或主動(dòng)元件參數，如電容或電感等效串列電阻(ESR)、光耦電流傳遞比(CTR)或是雙極晶體管的beta值。這些變量影響環(huán)路增益，使其上升或下降，具體則取決于受影響的參數。
圖4. 環(huán)路增益會(huì )顯示出對溫度等外部參數的敏感性。出現變化時(shí)，相位余量必須始終保持在安全限制范圍內。 如果增益曲線(xiàn)出現變化，0 dB交越頻率將過(guò)渡至新的值，為轉換器施加不同的帶寬。在這些變化條件下轉換器的穩定性會(huì )受到怎樣的影響？如果新的交越頻率出現在相位余量較少的點(diǎn)，瞬時(shí)響應性能可能下降，使過(guò)沖不再能被接受。因此，身為設計人員，你的責任就是確保這些差量(dispersion)在你接近-180°極限時(shí)不會(huì )突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定義如下所示：
它對應于恰好為-180°或弧度的頻率點(diǎn)(圖3中為1 MHz). 圖4描繪了由于所選擇元件生產(chǎn)差異范圍導致的±10 dB典型增益變化。它帶來(lái)了1.5 kHz至30 kHz的交越頻率。在此區域，相位余量從70°變?yōu)?5°，這些都是理論上的安全數字。最壞情況是什么？就是新的交越頻率在總相位滯后180°處出現。這條件在1 MHz時(shí)出來(lái)，表示有35 dB的正增益變化。 不太可能有大增益 有利的是，當今電子電路中不太可能出現35 dB的增益變化。以前，在變壓器或伺服系統(servomechanism)采用真空管電路驅動(dòng)的時(shí)候，上電序列期間的準備(warm-up)時(shí)間可能引起大的環(huán)路增益變化。因此，增益規定有必要排斥可能存在穩定性風(fēng)險的第二個(gè)點(diǎn)。此總相位滯后達-180°的頻率處的環(huán)路增益曲線(xiàn)上可見(jiàn)這增益余量，在圖3中被標記為GM。在當今電子電路中，高于10 dB的增益余量通常就足夠了，除非您的環(huán)路增益對外部參數極為敏感。 增益漂移的另一個(gè)示例如圖5所示。圖中顯示另一個(gè)被補償的轉換器在10 kHz時(shí)出現80°的相位余量。根據前文的討論，我們知道可能會(huì )出現增益變化，致使增益曲線(xiàn)上揚或下走。在我們的示例中，我們可以發(fā)現2 kHz附近一個(gè)區域的相位余量小到只有18°。如果出現20至25 dB的增益下降，你最后得到的控制系統就會(huì )出現相當危險的約2 kHz的低相位余量。這就會(huì )導致振蕩響應，很可能超出過(guò)沖規范。此類(lèi)系統被認為是有條件穩定。有利的是，如前所述，25 dB的增益變化并不常見(jiàn)，有這等增益余量的系統可被視為強健。然而，我看見(jiàn)過(guò)在一些設計案例中，最終使用者(您的客戶(hù))在規范中清晰標明不接受有條件的設計，要求在低于交越頻率的所有點(diǎn)提供大于60°的相位余量。在這種情況下，就強制要求補償轉換器，使得無(wú)論什么工作條件下，低于交越頻率時(shí)都不存在相位余量降低的區域。
圖5. 在此示例中，如果增益漂移至低于25 dB，曲線(xiàn)就在相位余量?jì)H為18°的頻率點(diǎn)過(guò)0 dB軸。如此的相位余量將受大的過(guò)問(wèn)影響，提供振蕩極大的響應。這就是有條件穩定的案例。 穩定，或是不穩定？ 通常認為，在交越前相位下降至低于-180°的系統是不穩定的系統。這樣的響應如圖6所示。在1 kHz后相位曲線(xiàn)快速下降，并在1.5 kHz之后的數kHz范圍內越過(guò)-180°的極限。然后相位曲線(xiàn)又上揚，在10 kHz時(shí)提供50°的相位余量。是的，此系統很穩定，只不過(guò)是因為在0 dB時(shí)我們不滿(mǎn)足方程式(7)。要記住的是，要消除方程式(3)的分母，您必須使增益大小恰好等于1且相位滯后180°或更多。在圖中，我們可以看到任何點(diǎn)都不滿(mǎn)足此條件。然而，值得一提的是，此環(huán)路極具條件相關(guān)性。如果增益減少數dB，您的相位余量將變得低于45°。增益再下降10 dB，您將進(jìn)入相位余量為0的危險區，這時(shí)會(huì )達到振蕩條件。
圖6. 相位滯後180°，但處於增益大於的區域。這並不構成問(wèn)題，其回應可以接受。 注：本文經(jīng)出版商Artech House, Inc., Boston批準，節選自《線(xiàn)性及開(kāi)關(guān)電源控制環(huán)路設計教程》(c) 2012一書(shū)。此書(shū)的主題包括：環(huán)路控制基礎、傳遞函數、控制系統的穩定條件、補償、以運算放大器為基礎的補償、以運算跨導放大器為基礎的補償、以TL431為基礎的補償、以為流穩壓器為基礎的補償 、測量及設計實(shí)例。此書(shū)可以ArtechHouse.com、Amazon.com或BN.com上購買(mǎi)。 |
